(pas de titre)

30 juillet 2009

Droites remarquables

La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités du segment. Cet ensemble est la droite passant par le milieu du segment et qui est perpendiculaire au segment

Tracer la médiatrice d’un segment AB.
Tracer deux cercles de diamètre supérieur à AB , tracer la droite qui relient l’intersection de ces cercles .c’est la médiatrice du segment

Une hauteur dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Soit un triangle ABC. Tracer la hauteur passant par A et perpendiculaire au segment BC.
Tracer A’ le symétrique du sommet A par rapport au coté opposé BC
tracer la droite AA’ c’est la hauteur issue de A

Une médiane dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.

La bissectrice d’un angle est l’ensemble des points à égale distance des côtés de cet angle.

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30 juillet 2009

Triangles notes

Triangles:

Les trois médiatrices d’un triangle ABC sont concourantes en un point O appelé centre du cercle circonscrit au triangle

Les trois bissectrices du triangle sont concourantes en un point I appelé centre du cercle inscrit au triangle

clip_image005

Deux bissectrices extérieures concourent avec la bissectrice intérieure restante. On obtient ainsi les centres des trois cercles exinscrits au triangle.

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du triangle

clip_image003

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle

clip_image004

Théorème de Pythagore

Si ABC est un triangle rectangle en A alors $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ réciproquement si les cotés d’un trinagle verifient $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ alors ce triangle est rectangle en A

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21 juillet 2009

Digression polynôme

poly3

Calcul de l’air d’un polynôme régulier à n coté.

On calcul l’air du triangle orange qui est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur d’où

$\dfrac{1}{2}p.cos(\frac{\Pi}{n})p.sin(\frac{\Pi}{n})$

on sait que sin(2a)=2sin(a)cos(a) ( formule de duplication)

il y a 2.n triangle orange

d’où Aire= $Aire=\dfrac{n}{2}p^{2}.sin(\frac{2\Pi}{n})$
on posera pour la suite p=1
d’où: Aire= $Aire=\dfrac{n}{2}.sin(\frac{2\Pi}{n})$

intéressons nous a sa dérivé par rapport à n qui nous donne l’accroissement de l’aire en fonction du nombre de coté et par conséquent le taux avec lequel le polygone se rapproche du cercle en fonction de n

$\frac{d Aire}{dn}=\dfrac{1}{2}.sin(\frac{2\Pi}{n})-\dfrac{\Pi}{n}cos(\frac{2\Pi}{n})$

la limite a pour aire celle du cercle soit $\Pi$

poly4

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21 juillet 2009

Algorithme de tracé de polygones

poly

Soit un polygone réguliers à n coté et donc n sommets

La somme des angles opposé à la base des triangles isocèle formés par les cotés du polygone et le centre du cercle circonscrit est égale à $2\Pi$

Par conséquent ces angles valent $\dfrac{2k\Pi}{n}$
avec k $\in$ {0,1,…(n-1)}

et les coordonnes des sommets pour un cercle de rayon unité sont
x=cos ( $\dfrac{2k\Pi}{n}$ )
y=sin ( $\dfrac{2k\Pi}{n}$ )

Voici un petit algo que je viens d’implémenter en Tcl Tk et qui permet de tracer des polygones reguliers

Liste:= $\emptyset$
Lire n # nombre de coté du polygone
k:=(n-1)
Pour i=0 jusqu’a k faire
x:=cos ( $\dfrac{2k\Pi}{n}$ )
y:=sin ( $\dfrac{2k\Pi}{n}$ )
Liste:= rajoute (x,y) Fin
Trace Ligne (Liste)

Voici l’implémentation pour un hexagone

set listepoint {}
set n 6.0
set k [ expr ($n-1) ]
for {set i 0} { $i <= $k } {incr i 1} {
set p [expr ($i/$n)]
set q [expr (6.2831*$p)]
set x [expr (100*cos($q)+150) ]
set y [expr (100*sin($q))+150 ]
lappend listepoint $x
lappend listepoint $y
}
lappend listepoint “251″
lappend listepoint “150″
canvas .c -width 300 -height 300
pack .c
.c create line $listepoint -fill yellow -width 1

Et le resultat:

poly2

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20 juillet 2009

LaTeX

latex

LaTeX est intégré à WordPress

pour insérer du LaTeX écrivez entre les balises “$latex” et “$”

Vous pouvez trouver une liste quasi exhaustive des symboles ici

En attendant quelques éléments de bases

Lettres grecs

\alpha \beta \gamma \delta \epsilon \varepsilon

$\alpha \beta \gamma \delta \epsilon \varepsilon$

\zeta \eta \theta \iota \kappa \lambda

$\zeta \eta \theta \iota \kappa \lambda$

\mu \nu \xi \pi \varrho \rho

$\mu \nu \xi \pi \varrho \rho$

\sigma \tau \upsilon \phi \varphi \chi

$\sigma \tau \upsilon \phi \varphi \chi$

\psi \omega \Gamma \Delta \Theta \Lambda

$\psi \omega \Gamma \Delta \Theta \Lambda$

\Xi \Pi \Upsilon \Phi \Psi \Omega

$\Xi \Pi \Upsilon \Phi \Psi \Omega$

Exposant – Indice

x^{ab} $x^{ab}$

y_{cd} $y_{cd}$

Fractions

\frac{x}{y} $\frac{x}{y}$

\dfrac{x}{y} $\dfrac{x}{y}$

Fonctions usuelles

\sqrt{2} $\sqrt{2}$

\sqrt[5]{3} $\sqrt[5]{3}$

Integrales

\int $\int$

\iint $\iint$

\iiint $\iiint$

\oint $\oint$

Limites

\lim{x\to 0} $\lim{x\to 0}$

Sommes, Produits

\sum a_n $\sum a_n$

\sum_{k=0}^n a_k $\sum_{k=0}^n a_k$

\prod a_n $\prod a_n$

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20 juillet 2009

MathML

$mathml$

Il s’agit d’un langage de description de formules mathématiques basé sur XML. Il permet l’affichage de symboles mathématiques, notamment sur le web,c’est une recommandation du W3C.

Pour tester la capacité de votre navigateur à afficher du MathML

rendez vous ici

Pour visualiser du MathML sur votre navigateur

Avec Internet Explorer: Installer MathPlayer télécharger ce fichier

ou rendez vous sur www.dessci.com

Avec Firefox : télécharger ce fichier

ou rendez vous sur web.mit.edu

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20 juillet 2009