juillet 30, 2009

Droites remarquables

La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités du segment. Cet ensemble est la droite passant par le milieu du segment et qui est perpendiculaire au segment

Tracer la médiatrice d’un segment AB.
Tracer deux cercles de diamètre supérieur à AB , tracer la droite qui relient l’intersection de ces cercles .c’est la médiatrice du segment

Une hauteur dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Soit un triangle ABC. Tracer la hauteur passant par A et perpendiculaire au segment BC.
Tracer A’ le symétrique du sommet A par rapport au coté opposé BC
tracer la droite AA’ c’est la hauteur issue de A

Une médiane dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.

La bissectrice d’un angle est l’ensemble des points à égale distance des côtés de cet angle.

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juillet 30, 2009

Triangles notes

Triangles:

Les trois médiatrices d’un triangle ABC sont concourantes en un point O appelé centre du cercle circonscrit au triangle

Les trois bissectrices du triangle sont concourantes en un point I appelé centre du cercle inscrit au triangle

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Deux bissectrices extérieures concourent avec la bissectrice intérieure restante. On obtient ainsi les centres des trois cercles exinscrits au triangle.

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du triangle

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Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle

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Théorème de Pythagore

Si ABC est un triangle rectangle en A alors $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ réciproquement si les cotés d’un trinagle verifient $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ alors ce triangle est rectangle en A

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juillet 21, 2009

Digression polynôme

poly3

Calcul de l’air d’un polynôme régulier à n coté.

On calcul l’air du triangle orange qui est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur d’où

$\dfrac{1}{2}p.cos(\frac{\Pi}{n})p.sin(\frac{\Pi}{n})$

on sait que sin(2a)=2sin(a)cos(a) ( formule de duplication)

il y a 2.n triangle orange

d’où Aire= $Aire=\dfrac{n}{2}p^{2}.sin(\frac{2\Pi}{n})$
on posera pour la suite p=1
d’où: Aire= $Aire=\dfrac{n}{2}.sin(\frac{2\Pi}{n})$

intéressons nous a sa dérivé par rapport à n qui nous donne l’accroissement de l’aire en fonction du nombre de coté et par conséquent le taux avec lequel le polygone se rapproche du cercle en fonction de n

$\frac{d Aire}{dn}=\dfrac{1}{2}.sin(\frac{2\Pi}{n})-\dfrac{\Pi}{n}cos(\frac{2\Pi}{n})$